二部グラフの最大マッチングを求めるアルゴリズム

2020年3月20日2020年9月2日グラフフロー,最大フロー,二部グラフ,最大マッチング,マッチング,競プロ

アルゴリズム

※ マッチング \(M\) は、\(|M| = |f|\) となる1つの整数フロー \(f\) に対応します
※ マッチングの各ペアは、ソースからシンクへの流量１の部分的なフローに対応します
※ 最大フローを求めるアルゴリズムの代表例としては、Ford-Fullkerson法などがあります。

計算量

• \(O(|V||E|)\)

\(G’\) の最大フロー \(f^*\) の値は \(|f^*| = O(\min(L, R))\) 程度です。最大フローを求めるのにFord-Fullkerson法を用いれば、計算量は \(O(|f^*||E|)\) になります。

C++ での実装例

AOJ GRL_7_A Bipartite Matching を解くコードです。最大フローを求めるのにFord-Fullkerson法を用いています。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

template <class T>
struct Edge {
    int rev, from, to;  // rev:逆向きの辺の番号
    T cap, original_cap;
    Edge(int r, int f, int t, T c) : rev(r), from(f), to(t), cap(c), original_cap(c) {}
};

template <class T>
struct Graph {
    vector<vector<Edge<T>>> G;
    Graph(int n = 0) : G(n) {}
    vector<Edge<T>>& operator[](int i) { return G[i]; }
    const size_t size() const { return G.size(); }
    Edge<T>& redge(Edge<T> e) {  // 逆向きの辺を返す
        return G[e.to][e.rev];   // 自己ループはないと仮定（あれば G[e.to][e.rev + 1] とする必要がある）
    }
    void add_edge(int from, int to, T cap) {  // 有向辺を加える
        G[from].push_back(Edge<T>((int)G[to].size(), from, to, cap));
        G[to].push_back(Edge<T>((int)G[from].size() - 1, to, from, 0));
    }
};

/* FordFulkerson: Ford-Fulkersonのアルゴリズムで最大流を求める構造体
    max_flow(G,s,t) ：グラフGの最大流が求まる
    副作用：G は最大流の残余ネットワークになる
    計算量: O(|f*||E|) (f*:最大流) 
*/
template <class T>
struct FordFulkerson {
    const T INF = 1e9;
    vector<int> used;

    FordFulkerson(){};
    T dfs(Graph<T>& G, int v, int t, T f) {  // 増加可能経路を見つけて増加分のフローを返す
        if (v == t) return f;
        used[v] = true;
        for (auto& e : G[v]) {
            if (!used[e.to] && e.cap > 0) {
                T d = dfs(G, e.to, t, min(f, e.cap));
                if (d > 0) {
                    e.cap -= d;
                    G.redge(e).cap += d;
                    return d;
                }
            }
        }
        return 0;
    }
    T max_flow(Graph<T>& G, int s, int t) {
        T flow = 0;
        while (true) {
            used.assign(G.size(), 0);
            T f = dfs(G, s, t, INF);  // f が増加分のフロー
            if (f == 0) {
                return flow;
            } else {
                flow += f;
            }
        }
        return 0;
    }
};

int main() {
    int X, Y, E;
    cin >> X >> Y >> E;
    Graph<int> G(X + Y + 2);
    for (int i = 0; i < X; i++) {  // ソース(0)から X(1~X) への辺
        G.add_edge(0, i + 1, 1);
    }
    for (int i = 0; i < E; i++) {  // X(1~X) から Y(X+1~X+Y) への辺
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        G.add_edge(x + 1, y + X + 1, 1);
    }
    for (int i = 0; i < Y; i++) {  // Y(X+1~X+Y) からシンク(X+Y+1)への辺
        G.add_edge(i + X + 1, X + Y + 1, 1);
    }

    FordFulkerson<int> ff;
    cout << ff.max_flow(G, 0, X + Y + 1) << endl;
}

アルゴリズムの正当性

• \(G\) でのマッチング \(M\) が最大マッチング \(\Leftrightarrow\) \(M\) に対応する \(G’\) での整数フロー \(f\) が最大フロー

であることが示せれば良いです。

準備

以下の２つを用いて証明を行います。

証明の概要

必要条件と十分条件に分けて示しましょう。

まずは \(G\) でのマッチング \(M\) が最大マッチングのときを考えます。\(M\) に対応する整数フロー \(f\) が存在するので、これが最大フロー \(f^*\) でないと仮定して矛盾を導けば良いです。
\(f^*\) は整数性定理から整数フローとなります。よってこれに対応するマッチング \(M^*\) を考えると、\(|M^*| = |f^*| > |f| = |M|\) となり \(M\) が最大マッチングであることと矛盾します。

逆も同様に示すことができます。

練習問題

• AOJ GRL_7_A Bipartite Matching
• [AtCoder] ABC091 C – 2D Plane 2N Points