二項係数

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問題概要

座標 \((0,0)\) からスタートして \(N\) 回の移動で \((X,Y)\) に到達する確率を求めたい。
1回の移動では、上下左右それぞれの方向に確率 \(\frac{1}{4}\ ...

条件を満たすものが何通りあるか数える問題、すなわち数え上げ問題には様々なものがありますが、「\(n\) 個の玉を \(x\) 個の箱に分ける方法は何通りか」などといった、典型的なものはある程度パターン化して解くことができます。 ...

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問題概要

1,2,3 で構成された整数列 \(a_1 a_2 a_3 \cdots a_N\) が与えられ、\(x_{i,j}\) を以下のように再帰的に定義する。

\(x_{1,j} := a_j\) ...

以下のような「上の2つを足して下の数字をつくる三角形」をパスカルの三角形といい、上から \(n\) 行目・左から \(k\) 個目の数は、\(_{n}\mathrm{C}_{k}\) に対応しています。(0-indexed)

Lucasの定理を利用することで、二項係数(nCk) が偶数なのか奇数なのかを効率よく判定することができます。

アルゴリズム

Lucasの定理をそのまま利用したアルゴリズム：

\({}_{n_i}\mathrm ...

Lucas の定理を利用すると、\(_{n}\mathrm{C}_{k}\)% \(p\) が \(O( p^2 \log_p n)\) で計算できます。素数 \(p\) が小さい場合は十分高速です。

Lucas の定理

任 ...

問題概要

n 個の部屋に 1 ずつ人がいる。以下を k 回行ったとき、考えられる状態は何通りあるか \(10^9+7\) で割った余りで答えよ。

ある部屋 \(i\) にいた人が、\(i \neq j\) を満たす任意の部屋 \( ...

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問題概要

2次元の平面上で、以下のように関数 f(r,c) を定義する。

f(r,c) := (0,0)から(r,c)までの経路の個数

この時、以下を計算せよ。ただし、\(10^9+7 ...

競技プログラミングの問題などでは、二項係数を非常に大きい素数 P で割った余りを出力させる問題が出題されることがあります。 \(P = 1000000007 = 10^9 + 7\) の素数を使用することなどが多いです。

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